Integral de \( \sin^3 x \)

Derivación y evaluación

Evalúa la integral:

\[ \int \sin^3 x \, dx \]

Escribe el integrando \( \sin^3 x \) como un producto de \( \sin^2 x \) y \( \sin x \):

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin^2 x \sin x \, dx \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) para escribir la integral como:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \, dx \]

Desarrolla \( (1 - \cos^2 x)\sin x \) y escribe:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx - \int \cos^2 x \sin x \, dx \]

Utiliza la integración por sustitución: sea \( u = \cos x \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = -\sin x \) o \( du = -\sin x \, dx \). Al sustituir esto se obtiene:

\[ \int \sin^3 x \, dx = \int \sin x \, dx + \int u^2 \, du \]

Utiliza las fórmulas de integrales para evaluar la integral:

\[ \int \sin^3 x \, dx = -\cos x + \dfrac{1}{3} u^3 + c \]

donde \( c \) es la constante de integración.

Sustituye de nuevo \( u = \cos x \) para encontrar la respuesta final: